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Download e-book for kindle: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 3322915786

ISBN-13: 9783322915788

ISBN-10: 3528031921

ISBN-13: 9783528031923

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach quick dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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Für das Lagrange unabhängig vom Grad der Gleichung eine zentrale Bedeutung erkannte, ist die heute so genannte Lagrange-Resolvente26 h(x I ,x 2' ... ,x n ) = XI + ~X2 + ~2X3 + ... + ~n-Ixn' wobei ~ eine n-te Einheitswurzel ist. ,x n ) = ~. h(x 2, x 3'···, XI) = und damit erhält man mit Lagranges universellem Verfahren für h(x], X2, ... , deren Koeffizienten sich aus denen der ursprünglichen Gleichung berechnen lassen. ;-(x I + ... +x n +h(xl'x2,x3"",xn)+h(xl'x3,x4"",x2)+'" + h(xl'x n,x 2"",x n_I » und entsprechenden Gleichungen für die anderen Lösungen auch die ursprüngliche Gleichung aufgelöst werden.

Dazu bemerkte er im Vorwort: "Da positio auf eine Linie, quadratum auf eine Fläche und cubum auf einen Körper hinweisen, wäre es sehr töricht, über dieses hinauszugehen. Die Natur erlaubt es nicht"21 . Dank seines Schülers Ludovico Ferrari (1522-1569) konnte Cardano aber in seiner Ars magna auch ein Verfahren zur Lösung biquadratischer Gleichungen beschreiben. Ferrari war es nämlich gelungen, biquadratische Gleichungen der Form X4 + px 2 + qx + r = 0 durch Addition zwei weiterer Terme zu den Potenzen x und x2 so umzuformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht.

Eine ganz spezielle Anwendung von Lagranges Hauptsatz über symmetrische Polynome ergibt sich übrigens für die Diskriminante Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln 48 f··, II(X j -xjf =(XI-X2)2(XI-X3)2(XZ -x 3 i

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