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Steven Dale Cutkosky's An Introduction to Galois Theory [Lecture notes] PDF

By Steven Dale Cutkosky

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Für das Lagrange unabhängig vom Grad der Gleichung eine zentrale Bedeutung erkannte, ist die heute so genannte Lagrange-Resolvente26 h(x I ,x 2' ... ,x n ) = XI + ~X2 + ~2X3 + ... + ~n-Ixn' wobei ~ eine n-te Einheitswurzel ist. ,x n ) = ~. h(x 2, x 3'···, XI) = und damit erhält man mit Lagranges universellem Verfahren für h(x], X2, ... , deren Koeffizienten sich aus denen der ursprünglichen Gleichung berechnen lassen. ;-(x I + ... +x n +h(xl'x2,x3"",xn)+h(xl'x3,x4"",x2)+'" + h(xl'x n,x 2"",x n_I » und entsprechenden Gleichungen für die anderen Lösungen auch die ursprüngliche Gleichung aufgelöst werden.

Dazu bemerkte er im Vorwort: "Da positio auf eine Linie, quadratum auf eine Fläche und cubum auf einen Körper hinweisen, wäre es sehr töricht, über dieses hinauszugehen. Die Natur erlaubt es nicht"21 . Dank seines Schülers Ludovico Ferrari (1522-1569) konnte Cardano aber in seiner Ars magna auch ein Verfahren zur Lösung biquadratischer Gleichungen beschreiben. Ferrari war es nämlich gelungen, biquadratische Gleichungen der Form X4 + px 2 + qx + r = 0 durch Addition zwei weiterer Terme zu den Potenzen x und x2 so umzuformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht.

Eine ganz spezielle Anwendung von Lagranges Hauptsatz über symmetrische Polynome ergibt sich übrigens für die Diskriminante Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln 48 f··, II(X j -xjf =(XI-X2)2(XI-X3)2(XZ -x 3 i

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by Jason
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