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Download PDF by Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer

By Otto Forster

ISBN-10: 3528672242

ISBN-13: 9783528672249

ISBN-10: 3663092631

ISBN-13: 9783663092636

Dieses seit ?ber 25 Jahren bew?hrte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters f?r Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu gro?e Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bez?ge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes erg?nzt, so dass die Rechnungen direkt am laptop nachvollzogen werden k?nnen.

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Beweis. Wir gehen in mehreren Schritten vor. 1) Ein einfacher Beweis durch vollstandige Induktion zeigt, dass Xn aIle n ~ 0, insbesondere die Division immer zulassig ist. s:) Xn-l 2 ~ O. 3) Es gilt Xn+l :s;; Xn fur aIle n ~ I, denn Xn - Xn+ 1 = Xn- ~ (xn + ~) = ~n (~ - a) ~ O. >0 fur § 6 Wurzeln 55 4) Wegen 3) ist (Xn)n;;d eine monoton fallende Folge, die durch 0 nach unten beschrankt ist, also nach §5, Satz 7 konvergiert. ) Fiir den Grenzwert x := limn-tooxngilt nach §4, Corollar zu Satz 5, dass x ~ O.

6) x < y und a > 0 ==> ax < ay Kurz gesagt: Man darf eine Ungleichung mit einer positiven ZOOI multiplizieren. Beweis. 3), dass a(y - x) = ay - ax > O. Dies bedeutet aber nach Definition ax < ay. 7) 0~x ax < by Beweis. Steht bei einer der beiden Voraussetzungen das Gleichheitszeichen, so ist stets ax = 0 < by. Sei also 0 < x < y und 0 < a < b. 6) folgt ax < ay und ay < by, also aufgrund der Transitivitiit ax < by. 8) x < y und a < 0 ==> ax > ay Anders ausgedriickt: Multipliziert man eine Ungleichung mit einer negativen ZOOI, so verwandelt sich das Kleiner- in ein Grofler-Zeichen .

B) lim (anbn) = -00. c) lim (anbn) = c, wobei C eine beliebig vorgegebene reelle Zahl ist. d) Die Folge (anbn)nEN ist beschrankt, aber nicht konvergent. 41 § 5 Das VoUstiindigkeits-Axiom Mithilfe der bisher behandelten Axiome llisst sich nicht die Existenz von Irrationalzahlen beweisen, denn all diese Axiome gelten auch im Kerper der rationalen Zahlen. Bekanntlich gibt es (was schon die alten Griechen wussten) keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Also lasst sich mit den bisherigen Axiomen nicht beweisen, dass eine Quadratwurzel aus 2 existiert.

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Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen by Otto Forster


by Anthony
4.4

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