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Analysis, manifolds, and physics - download pdf or read online

By Yvonne Choquet-Bruhat

ISBN-10: 0444860177

ISBN-13: 9780444860170

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Example text

Beweis. Wir gehen in mehreren Schritten vor. 1) Ein einfacher Beweis durch vollstandige Induktion zeigt, dass Xn aIle n ~ 0, insbesondere die Division immer zulassig ist. s:) Xn-l 2 ~ O. 3) Es gilt Xn+l :s;; Xn fur aIle n ~ I, denn Xn - Xn+ 1 = Xn- ~ (xn + ~) = ~n (~ - a) ~ O. >0 fur § 6 Wurzeln 55 4) Wegen 3) ist (Xn)n;;d eine monoton fallende Folge, die durch 0 nach unten beschrankt ist, also nach §5, Satz 7 konvergiert. ) Fiir den Grenzwert x := limn-tooxngilt nach §4, Corollar zu Satz 5, dass x ~ O.

6) x < y und a > 0 ==> ax < ay Kurz gesagt: Man darf eine Ungleichung mit einer positiven ZOOI multiplizieren. Beweis. 3), dass a(y - x) = ay - ax > O. Dies bedeutet aber nach Definition ax < ay. 7) 0~x ax < by Beweis. Steht bei einer der beiden Voraussetzungen das Gleichheitszeichen, so ist stets ax = 0 < by. Sei also 0 < x < y und 0 < a < b. 6) folgt ax < ay und ay < by, also aufgrund der Transitivitiit ax < by. 8) x < y und a < 0 ==> ax > ay Anders ausgedriickt: Multipliziert man eine Ungleichung mit einer negativen ZOOI, so verwandelt sich das Kleiner- in ein Grofler-Zeichen .

B) lim (anbn) = -00. c) lim (anbn) = c, wobei C eine beliebig vorgegebene reelle Zahl ist. d) Die Folge (anbn)nEN ist beschrankt, aber nicht konvergent. 41 § 5 Das VoUstiindigkeits-Axiom Mithilfe der bisher behandelten Axiome llisst sich nicht die Existenz von Irrationalzahlen beweisen, denn all diese Axiome gelten auch im Kerper der rationalen Zahlen. Bekanntlich gibt es (was schon die alten Griechen wussten) keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Also lasst sich mit den bisherigen Axiomen nicht beweisen, dass eine Quadratwurzel aus 2 existiert.

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by Christopher
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